[飞控]旋转标准统一说明

我在写文章的时候通常要查阅很多书籍资料，最近才发现书籍间用的并不是一套标准，所以之后我写文章都会采用一套标准保证，前后文统一，避免歧义。

使用国内常用的标准，来定义旋转矩阵和四元数的上下标，即：

$$\begin{aligned} & \boldsymbol { Q }_A^{B} \otimes \boldsymbol { r }^ A \otimes {\boldsymbol { Q }_A^{B} } ^ { * } = \boldsymbol { M } ( \boldsymbol { Q }_A^{B} ) \boldsymbol { M } ^ { \prime } \left( {\boldsymbol { Q }_A^{B} } ^ { * } \right) \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { \mathbf{r} ^ {A} } \end{array} \right] \\ &=\left[ \begin{array} { l l l l } { q _ { 0 } } & { - q _ { 1 } } & { - q _ { 2 } } & { - q _ { 3 } } \\ { q _ { 1 } } & { q _ { 0 } } & { - q _ { 3 } } & { q _ { 2 } } \\ { q _ { 2 } } & { q _ { 3 } } & { q _ { 0 } } & { - q _ { 1 } } \\ { q _ { 3 } } & { - q _ { 2 } } & { q _ { 1 } } & { q _ { 0 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c c c } { q _ { 0 } } & { q _ { 1 } } & { q _ { 2 } } & { q _ { 3 } } \\ { - q _ { 1 } } & { q _ { 0 } } & { - q _ { 3 } } & { q _ { 2 } } \\ { - q _ { 2 } } & { q _ { 3 } } & { q _ { 0 } } & { - q _ { 1 } } \\ { - q _ { 3 } } & { - q _ { 2 } } & { q _ { 1 } } & { q _ { 0 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { 0 } \\ { r _ { x } ^ {A} } \\ { r _ { y } ^ {A} } \\ { r _ { z } ^ {A} } \end{array} \right] \\ &=\left[ \begin{array} { c c c c } { \times } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \times } & { q _ { 1 } ^ { 2 } + q _ { 0 } ^ { 2 } - q _ { 3 } ^ { 2 } - q _ { 2 } ^ { 2 } } & { 2 \left( q _ { 1 } q _ { 2 } - q _ { 0 } q _ { 3 } \right) } & { 2 \left( q _ { 1 } q _ { 3 } + q _ { 0 } q _ { 2 } \right) } \\ { \times } & { 2 \left( q _ { 1 } q _ { 2 } + q _ { 0 } q _ { 3 } \right) } & { q _ { 2 } ^ { 2 } - q _ { 3 } ^ { 2 } + q _ { 0 } ^ { 2 } - q _ { 1 } ^ { 2 } } & { 2 \left( q _ { 2 } q _ { 3 } - q _ { 0 } q _ { 1 } \right) } \\ { \times } & { 2 \left( q _ { 1 } q _ { 3 } - q _ { 0 } q _ { 2 } \right) } & { 2 \left( q _ { 2 } q _ { 3 } + q _ { 0 } q _ { 1 } \right) } & { q _ { 3 } ^ { 2 } - q _ { 2 } ^ { 2 } - q _ { 1 } ^ { 2 } + q _ { 0 } ^ { 2 } } \end{array} \right]\left[ \begin{array} { c } { 0 } \\ { r _ { x } ^ {A} } \\ { r _ { y } ^ {A} } \\ { r _ { z } ^ {A} } \end{array} \right]\end{aligned}$$ $$\mathbf{C}(\mathbf { q } _ { A } ^ {B})=\left[ \begin{array} { c c c } { q _ { 0 } ^ { 2 } + q _ { 1 } ^ { 2 } - q _ { 2 } ^ { 2 } - q _ { 3 } ^ { 2 } } & { 2 \left( q _ { 1 } q _ { 2 } - q _ { 0 } q _ { 3 } \right) } & { 2 \left( q _ { 1 } q _ { 3 } + q _ { 0 } q _ { 2 } \right) } \\ { 2 \left( q _ { 1 } q _ { 2 } + q _ { 0 } q _ { 3 } \right) } & { q _ { 0 } ^ { 2 } - q _ { 1 } ^ { 2 } + q _ { 2 } ^ { 2 } - q _ { 3 } ^ { 2 } } & { 2 \left( q _ { 2 } q _ { 3 } - q _ { 0 } q _ { 1 } \right) } \\ { 2 \left( q _ { 1 } q _ { 3 } - q _ { 0 } q _ { 2 } \right) } & { 2 \left( q _ { 2 } q _ { 3 } + q _ { 0 } q _ { 1 } \right) } & { q _ { 0 } ^ { 2 } - q _ { 1 } ^ { 2 } - q _ { 2 } ^ { 2 } + q _ { 3 } ^ { 2 } } \end{array} \right]$$

使用这套标准，有等价旋转：

$$\boldsymbol { r }^ B = \boldsymbol { Q }_A^{B} \otimes \boldsymbol { r }^ A \otimes {\boldsymbol { Q }_A^{B} } ^ { * } = \boldsymbol { C }_A^{B}\boldsymbol { r }^ A$$

所以，通过公式进行四元数转旋转矩阵有：

$$\boldsymbol{C}_A^B \Longleftrightarrow \boldsymbol{Q}_A^B$$

所以，旋转的操作，可以使用链式规则：

$$\begin{aligned} \boldsymbol {C} _A^ { C } =\boldsymbol { C }_B^{C} \otimes \boldsymbol { C }_A ^ { B }\\ \boldsymbol {Q} _A^ { C } =\boldsymbol { Q }_B^{C} \otimes \boldsymbol { Q }_A ^ { B }\\ \end{aligned}$$

以后将使用这套规则作为文章的标准，易于理解。

使用这套国内标准的参考书有：

严恭敏老师的《捷联惯导算法与组合导航原理讲义》

秦永元老师的《惯性导航》

使用国外常用的标准的参考书有：

全权老师的《多旋翼飞行器设计与控制》

全权老师的参考文献《Quaternion kinematics for the error-state Kalman filter》

有等价旋转：

$$\boldsymbol { r }^ A = \boldsymbol { Q }_A^{B} \otimes \boldsymbol { r }^ B \otimes {\boldsymbol { Q }_A^{B} } ^ { * } = \boldsymbol { C }_A^{B}\boldsymbol { r }^ B$$

链式规则为：

$$\begin{aligned} \boldsymbol {C} _A^ { C } =\boldsymbol { C }_A^{B} \otimes \boldsymbol { C }_B ^ { C }\\ \boldsymbol {Q} _A^ { C } =\boldsymbol { Q }_A^{B} \otimes \boldsymbol { Q }_B ^ { C }\\ \end{aligned}$$