特征值？特征向量？为什么叫特征？这些又有什么用？

如有一个矩阵A，向量v, 常数$\lambda$，以下这个公式：

$A \boldsymbol v = \lambda \boldsymbol v$

那么v就是A的特征向量，$\lambda$就是A的特征值。

这个式子非常简单，但是却有非常大的信息量，我们先从矩阵A说起：

矩阵是什么？我们来看一下矩阵的运算：

$\left[ \begin{array} { l l } { a _ { 11 } } & { a _ { 12 } } \\ { a _ { 21 } } & { a _ { 22 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { b _ { 1 } } \\ { b _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { a _ { 11 } b _ { 1 } + a _ { 12 } b _ { 2 } } \\ { a _ { 21 } b _ { 1 } + a _ { 22 } b _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { c _ { 1 } } \\ { c _ { 2 } } \end{array} \right]$

上面的式子说明，矩阵代表着某种变化，矩阵A可以把向量b变成另外一个向量c。即矩阵拥有线性变换的能力。

那 A 拥有怎么的线性变化能力呢？

通过观察向量 b 和 c ,你会发现两向量没什么相同点，这个有点头疼，没什么规律呀，这个变换既不是旋转多少角度，也不是放大多少倍，方向大小都发生变化。

很奇怪，难道样本太小了？那我们可以用很多向量来对A进行测试，用A对不同的向量进行变化。

突然发现对于向量v，A的变化不再是一团乱麻，出现了一些特殊的结果。

$A \boldsymbol v = \lambda \boldsymbol v$

一个向量v通过矩阵A变换后，仅仅是大小发生了变化，也就是说，在向量v这个方向上，矩阵A变换的效果只是放大$\lambda$倍。

这就给我们提供了某种A的信息，这些信息是A的内部固有结构决定的，所以称之为特征值和特征向量。

这时候如果再有人问你：A 拥有怎么的变化能力呢？

你可以很自信的告诉他，A可以在V方向上把向量放大$\lambda$倍。（看见没我们可以用特征值和特征向量来描述A这个变换的的固有属性，就像我们描述速度一样，也是运用大小和方向来描述速度的属性。）

那这些固有属性有什么用呢？可以把矩阵A化简，化简成一个对角矩阵：

如果A有两个特征值$\lambda1$,$\lambda2$, 对应的两个特征向量 v1 ,v2。

即：

$A \left[ \begin{array} { l } { V _ { 11 } } \\ { V _ { 12 } } \end{array} \right] = \lambda1 \left[ \begin{array} { l } { V _ { 11 } } \\ { V _ { 12 } } \end{array} \right] ，A \left[ \begin{array} { l } { V _ { 21 } } \\ { V _ { 22 } } \end{array} \right] = \lambda 2 \left[ \begin{array} { l } { V _ { 21 } } \\ { V _ { 22 } } \end{array} \right] ，$

令 P=[v1 , v2],则：

$A P = A \left[ V _ { 1 } V _ { 2 } \right] = A \left[ \begin{array} { l l } { v _ { 11 } } & { v _ { 12 } } \\ { v _ { 21 } } & { v _ { 22 } } \end{array} \right] =\left[ A \left[ \begin{array} { l } { v _ { 11 } } \\ { v _ { 12 } } \end{array} \right] A \left[ \begin{array} { l } { v _ { 21 } } \\ { v _ { 22 } } \end{array} \right] \right] \\ =\left[ \lambda 1 \left[ \begin{array} { l } { v _ { 11 } } \\ { v _ { 12 } } \end{array} \right] \lambda 2 \left[ \begin{array} { l } { v _ { 21 } } \\ { v _ { 22 } } \end{array} \right] \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \lambda 1 v _ { 11 } } & {\lambda 2 v _ { 12 } } \\ { \lambda 1 v _ { 21 } } & {\lambda 2 v _ { 22 } } \end{array} \right] \\ = \left[ \begin{array} { l l } { v _ { 11 } } & { v _ { 12 } } \\ { v _ { 21 } } & { v _ { 22 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \lambda 1 } & {0 } \\ { 0 } & {\lambda 2 } \end{array} \right] = P \varLambda$

两边乘P逆：

$P ^ {-1} A P = \varLambda$

通过A固有的特性，可以把A换简成对角矩阵，这个性质非常重要！

化简成对角矩阵有什么用呢？可以解耦。

$\begin{array} { l } { \frac { d x _ { 1 } } { d t } = x _ { 1 } + x _ { 2 } } \\ { \frac { d x _ { 2 } } { d t } = 4 x _ { 1 } - 2 x _ { 2 } } \end{array} \Rightarrow \frac { d } { d t } \left[ \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 1 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c } { 1 } & { 1 } \\ { 4 } & { - 2 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } \end{array} \right] \Rightarrow \dot x = Ax$

通常我们的系统状态方程都是这样子，状态之间是有耦合的，很难解除这个二元的微分方程。

如果我们通过把状态矩阵对角化，令x=py :

$\begin{array} { l } { \dot { x } = p \dot { y } } \\ { A x = A P y } \end{array}$

原式可以重新写成：

$p \dot { y } = A P y \\ p^{-1}p \dot { y } = p^{-1} A P y \\ \dot { y } = \varLambda y$

其中：

$\Lambda = \left[ \begin{array} { l l } { \lambda _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c } { 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 3 } \end{array} \right] \\ P = \left[ v _ { 1 } , v _ { 2 } \right] = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 4 } \end{array} \right]$ $\dot { y } = \left[ \begin{array} { c c } { 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 3 } \end{array} \right] y \Rightarrow \begin{array} { l } {\dot y _ { 1 } = 2 y _ { 1 } } \\ {\dot y _ { 2 } = - 3 y _ { 2 } } \end{array} \Rightarrow \begin{array} { l } { y _ { 1 } = C _ { 1 } e ^ { 2 t } } \\ { y _ { 2 } = C _ { 2 } e ^ { - 3 t } } \end{array}$

(A的特征值为$\lambda1$,$\lambda2$, 对应特征向量为v1 ,v2)

解耦后，原来的二元微分方程，变成了两个独立的一阶微分方程，这就很舒服了，就很好求解了。

最后只需要重新带回之前的假设：

$x = p y = \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { c _ { 1 } e ^ { 2 t } } \\ { c _ { 2 e } ^ { - 3 t } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { C_1 e ^ { 2 t } + C _ { 2 } e ^ { - 3 t } } \\ { C_1 e ^ { 2 t } - 4 C_2 e ^ { - 3 t } } \end{array} \right]$

为啥我们折腾半天，要解微分方程呢？

因为我们要研究的系统都是变化的，而变化也就意味着微分。

如果你能看到这里,偷偷告诉你这是一篇学习笔记，下面是参考资料，欢迎交流讨论，一起学习。

ok,我是zing,一个有趣的飞控工程师，今天就讲这么多，下期再见。